\documentclass[a4paper,12pt]{amsart}%
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{nopageno}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{enumerate}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem*{tetel}{T\'etel}
\renewcommand{\proofname}{Biz.}
\addtolength{\textwidth}{4cm}
\addtolength{\hoffset}{-2cm}
\newcommand{\idemitirjak}{\framebox(50,20){}}
\DeclareMathOperator{\lnko}{lnko}
\begin{document}
\begin{tetel}
Legyen $f\in\mathbb{Z}[x]$ egy tetszőleges $n$-edfokú
polinom ($n\geq1$). Ekkor az alábbi két állítás ekvivalens:
\begin{enumerate}[\rm(1)]
\item
$\exists u,v\in\mathbb{Z}[x]: f = u \cdot v$
és $0<\deg u,\deg v<n;$
\item
$\exists g,h\in\mathbb{Q}[x]: f = g \cdot h$
és $0< \deg g,\deg h < n.$
\end{enumerate}
\end{tetel}
\begin{proof}
Az világos, hogy $(1) \implies (2)$.
A másik irány bizonyításához
\begin{enumerate}[(a)]
\item
\addtolength{\itemsep}{0.4cm}
tegyük fel, hogy $(2)$ teljesül, azaz $f = g \cdot h$, ahol
$g,h\in\mathbb{Q}[x]$ és
\item
$0< \deg g,\deg h < n$.
\item
Léteznek olyan $g^{\ast},h^{\ast}\in\mathbb{Z}[x]$
polinomok és $r,s\in\mathbb{Q}$, amelyekre
$g = r \cdot g^{\ast},~h = s \cdot h^{\ast}$,
\item
és $g^{\ast},h^{\ast}$ primitív polinomok. \dotfill\idemitirjak
\item
Legyen $rs=\frac{p}{q}$, ahol $p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{N}$, és
\item
$\lnko(p,q)=1$.
\item
Az $f=gh$ egyenlőségbe behelyettesítve a fentieket kapjuk,
hogy $q \cdot f = p \cdot g^{\ast} h^{\ast}$.
\item
Meg fogjuk mutatni, hogy $q=1$.
\item
Legyen $g^{\ast}h^{\ast} = \sum_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}$;
erről a polinomról tudjuk, hogy primitív. \dotfill\idemitirjak
\item
Minden $i\in\{ 0,\ldots,n \}$ esetén
$q \mid p \cdot a_{i}$, \dotfill\idemitirjak
\item
és ebből következik, hogy $q \mid a_{i}$ minden $i$-re. \dotfill\idemitirjak
\item
Ezért csak $q=1$ lehetséges, \dotfill\idemitirjak
\item
tehát $f=pg^{\ast} \cdot h^{\ast}$.
\item
Ebben a felbontásban mindkét polinom egész együtthatós, \dotfill\idemitirjak
\item
és $0 < \deg pg^{\ast},\deg h^{\ast} < n$. \dotfill\idemitirjak
\item
Tehát az $u=pg^{\ast},~v=h^{\ast}$ polinomok mutatják, hogy
$(1)$ teljesül, és épp ezt kellett bizonyítanunk.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{document}
