\begin
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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\bf Secado de bizcochos en un secadero tipo t\'unel }\\[10pt]
\begin{tabular}{ccc}
S.A. Almeida$^*$ & J.C. De Baca$^*$& O.D. Rivas$^*$\\
sara\_almeida9@hotmail.com & jcdebaca@yahoo.com& dani930@gmail.com
\end{tabular}\\[10pt]
$^*$Facultad de Ciencias Qu\'imicas, Universidad Nacional de Asunci\'on, San Lorenzo, Paraguay.
\end{center}
\rule[1ex]{\textwidth}{.2pt}
{\bf Resumen:} Se realizó simulación del proceso de transferencia de masa durante el secado de bizcochos en un secadero tipo túnel con aire caliente circulando en contra corriente, para ello se usó el método de resolucion num\'erica de diferencias finitas,se estim\'o el tiempo de residencia del bizcocho dentro del secadero. El tiempo que tarda en reducirse la humedad desde la concentraci\'on inicial a la prestablecida es de aproximadamente 45 minutos.\\
{\bf Palabras claves:} Secado, bizcochos, tiempo de residencia
\rule[1ex]{\textwidth}{.2pt}
\section{Introducci\'on}
El objetivo del trabajo es encontrar el tiempo que tarda en disminuir la concentración de humedad hasta una concentración final preestablecida dentro del bizcocho (s\'olido).
El proceso de secado se realiza de manera continua en un secadero tipo t\'unel,por el cual pasan bandejas perforadas con el material a secar, dentro del túnel, se hace fluir, a contracorriente aire caliente, el cual sirve para secar los sólidos. [Geankoplis,2010]
\section{Modelado}
Para la formulación y resolución del problema se realizaron las siguientes consideraciones:
\begin{itemize}
\item El bizcocho es un cilindro de espesor muy pequeño que puede ser analizado como un placa plana, donde L es el espesor del biscocho y D es el di\'ametro del mismo en m.\\
\item L es mucho menor a D por lo que puede despreciarse la transferencia de masa por los costados
\item No hay reacción.\\
\item Difusividad constante, (isotrópico). \\
\item No estadonario (El sistema va perdiendo humedad con el tiempo).\\
\item La difusividad efectiva esta dado por Dab y los coeficentes $\epsilon$ y $\tau$ que son las fracciones de espacios vacios y el factor de correcci\'on de la trayectoria mas larga respectivamente, la razón entre ambos se aproxima a uno.\\
\item La transferencia de masa dentro del sólido se da solo por difusión.\\
\item La difusión es unidimensional, produciéndose solo en dirección del eje Z.\\
\end{itemize}
Para la resolución del problema, se escoge como sistema un solo bizcocho, el cual se modela como un cilindro de espesor m\'inimo, que puede ser considerado como una placa plana para su estudio, a través del cual se produce la difusión del agua hacia la corriente de aire caliente.
La ecuación diferencial obtenida es:\\
\[\frac{\partial \rho_A}{\partial t}=-Dab \frac{\epsilon}{\tau}\frac{\partial^2 \rho_A }{\partial z^2}\]
En donde Dab es la difusividad de masa del agua en la masa en $m^2/s$ y $\rho$ a es la concentración de agua en la masa (humedad) en $\frac{Kg de Agua}{Kg de solido}$
\begin{itemize}
\item Condicion inicial:\\
\begin{center}
$\rho$=$\rho max$= 50\\
\end{center}
\item Condiciones de frontera:\\
\begin{center}
$\rho$=$\rho min$= 15\\
\end{center}
Por simetr\'ia \[\frac{\partial \rho_A}{\partial z}={0}\]
\end{itemize}
\section{Metodolog\'ia}
Para la resoluci\'on del sistema se realiza la discretizaci\'on del fen\'omeno, utilizando el m\'etodo de de resoluci\'on num\'erica de diferencias finitas, aplicando la ecuaci\'on para:
$$\frac{D}{h^2}(w_{i+1,j}-2w_{ij}+w_{i-1,j})=(1/k)(w_{i,j+1}-w_{ij})$$
donde $k$ es el tamaño de paso para el tiempo , $h$ es el paso utilizado para el espacio y $Dab$ la constante de difusividad para el sistema.
\section{Resultados y discusiones}
Como se observa en la gr\'afica, las curvas tienen pendiente negativa a medida que avanza en la posici\'on, donde la humedad es menor. Y esta concentraci\'on va disminuyendo a medida que se avanza en el tiempo.
\begin{center}
\begin{figure} [h!]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{grafico.png}
\end{center}
\caption{Curva de velocidad de secado. Humedad Eliminada vs Tiempo}
\end{figure}
\end{center}
\section{Conclusi\'on}
Mediante la aplicaci\'on de m\'etodos num\'ericos para la resoluci\'on del sistema simplificado, se llega a la distribuci\'on de concentraci\'on como funci\'on de la posici\'on y el tiempo.
El resultado obtenido concuerda con las tendencias encontradas en la bibliografia.\\
\section{Bibliograf\'ia}
[1]A. Vian, J. Ocón. Elementos de la Ingeniería Química. Editorial Aguilar S.A., España, 1976\\
[2] Cengel, Y. A., y Ghajar, A. J. (2011). Transferencia de calor y masa.\\
[3] Incropera, F. Y DeWitt, D (1999). Fundamentos de Transferencia de Calor (4ed). España: Prentice-Hall.\\
[4] GeanKoplis,C.J, (2010) . Procesos de Transporte y Principios de Separación (Incluye operaciones Unitarias). (4ed). M\'exico.\\
[5]Chapra S.C,Canale RP.M\'etodos Num\'ericos para Ingenieros, Mc Grawn Hill, M\'exico (2007)\\
[6]T\'uneles de Secado.Diario de Ciencias Aplicadas. Disponible en: http://www.diariodeciencias.com.ar/tuneles-de-secado-cintas-para-secado/\\
\section{Anexo}
\begin{center}
\begin{figure} [h!]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{modelo}
\end{center}
\caption{Volumen de control tomado para el an\'alisis}
\end{figure}
\begin{frame}
Ecuaci\'on de balance
\item $ A_A = E_A-S_A+G_A $ \\
Ya que no ocurre ning\'un tipo de reacci\'on la generaci\'on es cero.\\
\item $ G_A =0 $
\item $ A_A = n_{Aentr}-n_{Asal} $ \\
\item $ \frac{\partial n_A}{\partial t} = \left.n_A \right |_z*S-\left.n_A \right |_{z + _\Delta z}*S $\\
\item $\frac{\partial(\rho_A*S*\Delta z)}{\partial t} =(\left.n_A \right |_z-\left.n_A \right |_{z+_\Delta z})*S$\\
\item $S*\Delta z*\frac{\partial \rho_A}{\partial t} =(\left.n_A \right |_z-\left.n_A \right |_{z+_\Delta z})*S $\\
La superficie se mantiene constante.\\
\item $ \frac{\partial \rho_A}{\partial t} =-(\frac{\left.n_A \right |_{z+_\Delta z}-\left.n_A \right |_z}{\Delta z})$\\
Aplicando limite.\\
\item $\frac{\partial \rho_A}{\partial t} = \displaystyle\lim_{\Delta z\to 0}{-(\frac{\left.n_A \right |_{z+_\Delta z}-\left.n_A \right |_z}{\Delta z})}$\\
\item $\frac{\partial \rho_A}{\partial t} = -\frac{\partial \ n_A}{\partial z} $\\
\item $n_A =-\frac{\epsilon}{\tau}*D_{AB}*\frac{\partial \rho_A}{\partial z} $\\
\item $ \frac{\partial \rho_A}{\partial t} =\frac{\epsilon}{\tau}*D_{AB}*\frac{\partial^2 {\rho_A}}{\partial z^2}$ \\
\end{frame}
\end{center}
\end{document}