Th\'eorie cin\'etique des gaz parfaits.
Author
Rémy Collie
Last Updated
10 лет назад
License
Creative Commons CC BY 4.0
Аннотация
Chapitre 2, Peip2, Polytech'Nice Sophia, sans les sch\'emas et applications sch\'ematis\'ees
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\title{Chapitre 2: Th\'eorie cin\'etique des gaz parfaits.}
\author{R\'emy Collie}
\date{\today}
\usepackage[T1]{fontenc}
\begin{document}
\maketitle
\section{Mod\`ele d'un gaz parfait.}
Un gaz est dit parfait s'il satisfait les hypoth\`eses suivantes:
\begin{itemize}
\item Les mol\'ecules sont assimil\'ees \`a des points mat\'eriels de taille n\'egligeable;
\item Les seules interactions entre les mol\'ecules sont les chocs \'elastiques, c'est-\`a-dire les mol\'ecules ne s'attirent pas et ne se repoussent pas;
\item Les mol\'ecules d'un gaz se d\'eplacent \`a grande vitesse (de l'ordre de 500 $m \cdot s^{-1}$). Elles subissent des collisions entre elles (108 collisions par seconde). Suite \`a ces collisions, les trajectoires des mol\'ecules deviennent tr\`es d\'esordonn\'ees: le gaz occupe tout le volume offert, et la vitesse moyenne des mol\'ecules se d\'eplaçant suivant une vitesse donn\'ee ne d\'epend pas de la direction.
\end{itemize}
\section{Pression dans un gaz parfait.}
\`A l'origine de la pression sont les chocs des mol\'ecules avec les parois du contenant. Trouvons une expression liant la pression P \`a la concentration n, la masse m et la vitesse v d'une mol\'ecule.
\subsection{Encha\^inement des calculs.}
On applique la seconde loi de Newton au sch\'ema pr\'ec\'edent:
\begin{equation}
\overrightarrow{F_{gaz}} = m \cdot \overrightarrow{a} = m \cdot \frac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t} = \frac{\Delta(m \cdot \overrightarrow{v})}{\Delta t} = \frac{\Delta \overrightarrow{p}}{\Delta t}
\end{equation}
avec $\Delta \overrightarrow{p}$ la variation de quantit\'e de mouvement de toutes les mol\'ecules rentrant en choc avec la paroi.
Avec $N_{coll}$ le nombre de collisions durant $\Delta t$ et $\Delta P_1$ la variation de quantit\'e de mouvement d'une mol\'ecule:
$$P \cdot \Delta S \cdot \Delta t = N_{coll} \cdot \Delta P_1$$
\subsection{Hypoth\`eses.}
\begin{itemize}
\item Toutes les mol\'ecules se d\'eplacent avec la m\^eme vitesse;
\item Toutes les mol\'ecules se d\'eplacent suivant les trois directions orthogonales $\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z}$ dans les sens positif et n\'egatif, c'est-\`a-dire qu'un sixi\`eme des mol\'ecules suit l'axe $\overrightarrow{x}$, un autre sixi\`eme l'axe $-\overrightarrow{x}$, et c\ae tera.
\end{itemize}
\subsection{D\'efinition de $N_{coll}.$}
Parmi six mol\'ecules se trouvant dans un cylindre, une seule entrera en collision sur la paroi:
$$N_{coll} = \frac{1}{6} \cdot N_{cylindre}$$
d'o\`u par d\'efinition: $n = \frac{N_{cylindre}}{V_{cylindre}}$, et donc:
$N_{cylindre} = n \cdot V \cdot \Delta t \cdot \Delta S$
$\Leftrightarrow P\cdot \Delta S \cdot \Delta t = \frac{1}{6} \cdot n \cdot v \cdot \Delta t\cdot \Delta S\cdot 2 m v$
$\Leftrightarrow P = \frac{1}{3} \cdot n \cdot m \cdot u^2$
avec $u$ la vitesse quadratique moyenne d\'efinie par:
$$u = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} {v_i}^2}{N}}$$
avec:
\begin{itemize}
\item $v_i$ vitesse de la i\`eme mol\'ecule
\item N le nombre de mol\'ecules
\end{itemize}
\section{Energie interne d'un gaz parfait monoatomique.}
\subsection{Relation entre U et P.}
Faisons appara\^itre l'\'energie interne dans l'expression:
\begin{flalign*}
P &= \frac{1}{3} \cdot n \cdot m \cdot u^2 & \\
&= \frac{2}{3} \cdot \frac{N}{V} \cdot (\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2) \\
&= \frac{2}{3\cdot V} \cdot (\frac{1}{2} \cdot m \cdot N\cdot v^2)
\end{flalign*}
or ici $\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = E$ l'\'energie cin\'etique moyenne d'une mol\'ecule.
donc $\frac{1}{2} \cdot m \cdot N\cdot v^2 = N \cdot E = E_{cin}$ l'\'energie cin\'etique de toutes les mol\'ecules.
d'o\`u une forme alternative de l'\'equation d'\'etat des gaz parfaits:
(2) dans (1) $\Rightarrow P = \frac{2U}{3V} \Rightarrow P \cdot V = \frac{2}{3} \cdot U$
\subsection{Relation entre U et T.}
Comparons les deux formes diff\'erentes de la loi des gaz parfaits:
\begin{align}
P \cdot V &= \frac{2}{3} \cdot U \label{A}\\
&= \nu \cdot R \cdot T \label{B}
\end{align}
avec $\nu = \frac{N}{N_A}$.
Par l'\'equation ~\eqref{B}:
\begin{flalign*}
P \cdot V &= \frac{N}{N_A} \cdot R \cdot T & \\
&= N \cdot k \cdot T
\end{flalign*}
avec $k = \frac{R}{N_A} = 1.33 \cdot 10^{-22} J \cdot K^{-1}$ la constante de Boltzmann.
k ne d\'epend ni de T, ni de P, ni de la nature du gaz.
...
La temp\'erature absolue $T$ d'un gaz parfait est une mesure de l'\'energie cin\'etique moyenne de ses mol\'ecules.
La temp\'erature est d'autant plus \'elev\'ee que leur agitation thermique $E_{cin}$ est grande.
Dans le cas g\'en\'eral, la temp\'erature d'une mati\`ere traduit le degr\'e d'agitation des particules microscopiques qui la constituent.
Remarque 1: l'\'equation (7) n'est valable que pour un gaz monoatomique.
Pour un gaz polyatomique,
$E_{polyatomique} > \frac{3}{2} \cdot k \cdot T$,
mais pour autant $E_{polyatomique}$ est toujours proportionnelle \`a $k \cdot T$.
Remarque 2: On a la forme alternative de la loi des gaz parfaits suivante:
\begin{flalign*}
P \cdot V &= N \cdot k \cdot T & \\
&= \frac{N}{V} \cdot k \cdot T \\
&= n \cdot k \cdot T
\end{flalign*}
\subsection{Application : refroidissement d'un gaz par laser.}
...
\section{Gaz dans le champ pesanteur}
Hypoth\`eses:
\begin{itemize}
\item L'air est un gaz parfait
\item La temp\'erature est une constante du temps
\item L'acc\'el\'eration de pesanteur g est une constante du temps.
\end{itemize}
Raisonnement :
\subsection{Bilan des forces exerc\'ees sur la couche d'air.}
$F_{pressante,airBas} = F_{pressante,airHaut} + F_{poids}$
$P(z) \cdot S = P(z + dz)\cdot S + dM\cdot g$
\begin{equation}
(P(z) - P(z + dz))\cdot S = dM\cdot g \label{1}
\end{equation}
avec la diff\'erentielle de la pression par d\'efinition:
\begin{equation}
\mathrm dP = P(z + dz) - P(z) \label{2}
\end{equation}
donc:
\begin{equation}
-\mathrm dP\cdot S = dM\cdot g \label{3}
\end{equation}
\subsection{Masse de la couche d'air.}
$dM = m\cdot N$ \, avec:
\begin{itemize}
\item $m$ la masse d'une mol\'ecule;
\item $\mathrm dn$ le nombre de mol\'ecules dans la couche d'air.
\end{itemize}
Par d\'efinition, $m = \frac{\mathrm dn}{dV}$, donc:
\begin{equation}
\mathrm dn = m\cdot dV \label{4}
\end{equation}
avec dV le volume de la couche.
Ainsi:
\begin{equation}
\mathrm dn = n\cdot S\cdot \mathrm dy \label{5}
\end{equation}
\begin{equation}
~\eqref{5} \rightarrow ~\eqref{4} \Rightarrow
dM = m\cdot n\cdot S\cdot \mathrm dy \label{6}
\end{equation}
\subsection{Concentration des mol\'ecules dans la couche.}
\begin{equation}
~\eqref{6} \rightarrow ~\eqref{3} \Rightarrow
-\mathrm dP\cdot S = m\cdot n\cdot S\cdot \mathrm dy \Rightarrow
\mathrm dP = -m\cdot n\cdot g\cdot \mathrm dy \label{7}
\end{equation}
or, on a:
\begin{equation}
P = n\cdot k\cdot T \Rightarrow \mathrm dP = k\cdot T\cdot \mathrm dn \label{8}
\end{equation}
$~\eqref{6} \rightarrow ~\eqref{3} \Rightarrow$
\begin{align}
\mathrm dn\cdot k\cdot T &= -m\cdot n\cdot g\cdot \mathrm dy \notag \\
\frac{\mathrm dn}{n} &= -\frac{m\cdot g}{k\cdot T} \cdot \mathrm dy \notag \\
\int{\frac{\mathrm dn}{n}} &= -\frac{m\cdot g}{k\cdot T} \cdot \int{\mathrm dy} \notag \\
\ln{n} &= -\frac{m\cdot g}{k\cdot T} \cdot y + \ln{\lambda} \,\,\,\,\,
(\lambda \in \mathbf{R}) \notag \\
\ln{\frac{n}{\lambda}} &= -\frac{m\cdot g}{k\cdot T} \cdot y \notag \\
n &= \lambda \cdot \exp{\frac{-m\cdot g\cdot}{k\cdot T} \cdot y}
\end{align}
Si on conna\^it la concentration de l'air au niveau de la mer:
\begin{equation}
n(z=0) = n_0 \label{10}
\end{equation}
\begin{equation}
~\eqref{10} \rightarrow (11) \Rightarrow
n_0 = \lambda \cdot \exp{0} = \lambda \label{11}
\end{equation}
\begin{equation}
~\eqref{11} \rightarrow (11) \Rightarrow
n(z) = n_0 \cdot \exp{\frac{-m\cdot g\cdot z}{k\cdot T}} \label{12}
\end{equation}
L'\'equation pr\'ec\'edente nous donne la r\'epartition de la concentration de mol\'ecules d'air en fonction de l'altitude.
\subsection{Pression atmosph\'erique \`a l'altitude z.}
\begin{align}
P(z) &= n(z)\cdot k\cdot T \notag \\
&= n_0\cdot k\cdot T\cdot \exp{\frac{-m\cdot g\cdot z}{k\cdot T}} \notag \\
&= P_0\cdot \exp{\frac{-m\cdot g\cdot z}{k\cdot T}}
\end{align}
La formule en (16) est appel\'ee formule barom\'etrique.
Application : cf Caquineau.
\section{Loi de distribution de Boltzmann.}
Avec le dernier paragraphe, le nombre de mol\'ecules d'air se trouvant \`a l'altitude z ayant l'\'energie potentielle
$\epsilon = m\cdot g\cdot z$ est \`a une constante pr\`es :
$$ n = \exp(-\frac{m\cdot g\cdot z}{k\cdot T}) = \exp(-\frac{\epsilon}{k\cdot T})$$
\subsection{Spectre discret.}
Suite \'a l'agitation thermique, l'\'energie d'une particule microscopique prend l'une des valeurs $\epsilon_i$ du spectre
$(\epsilon_1, \epsilon_2, ..., \epsilon_L)$
Il est impossible de savoir exactement l'\'energie d'une mol\'ecule \`a un instant donn\'e, mais on peut deviner sa valeur
$\epsilon_i$ avec une certaine probabilit\'e.
La probabilit\'e que l'\'energie d'une particule donn\'ee prenne une valeur $\epsilon_i$ du spectre discontinu
$(\epsilon_1, \epsilon_2, ..., \epsilon_L)$ est proportionnelle au facteur de Boltzmann
$\exp{-\frac{\epsilon_i}{k\cdot T}}$
Elle est donn\'ee par la loi de distribution de Boltzmann:
\begin{equation}
\Pi(\epsilon_i) = \frac{N_i}{N} = \lambda \cdot \exp{-\frac{\epsilon_i}{k\cdot T}} \label{a}
\end{equation}
avec:
\begin{itemize}
\item $N_i$ le nombre de mol\'ecules ayant l'\'energie $\epsilon_i$ \, ;
\item $N = \sum\limits_{i=1}^L N_i$ le nombre total de mol\'ecules.
\end{itemize}
Cette m\^eme probabilit\'e est \'egale au nombre relatif (ou pourcentage) des mol\'ecules ayant l'\'energie $\epsilon_i$ \,.
\begin{align}
(18) \Leftrightarrow \sum\limits_{i=1}^{L} \frac{N_i}{N} =
\sum\limits_{i=1}^{L} (\lambda \cdot \exp{-\frac{\epsilon_i}{k\cdot T}}) \notag \\
\frac{N}{N} = 1 = \lambda \cdot \sum\limits_{i=1}^L \exp{-\frac{\epsilon_i}{k\cdot T}} \notag \\
\lambda = \frac{1}{\sum\limits_{i=1}^L \exp{-\frac{\epsilon_i}{k\cdot T}}} \label{b}
\end{align}
\subsection{Spectre continu.}
De nombreux syst\`emes comme les mol\'ecules d'un gaz parfait poss\`edent un spectre continu de l'\'energie.
L'\'energie d'une particule est associ\'ee \`a sa position $x$ et \`a sa vitesse $v_x$\,.
Suite \`a l'agitation thermique, la position $x$ et la vitesse $v_x$ sont d\'etermin\'ees qu'avec une certaine probabilit\'e.
La probabilit\'e que la position d'une particule donn\'ee soit comprise entre $x$ et $x + \mathrm dx$ et que sa vitesse soit comprise entre $v_x$ et $v_x + \mathrm dv_x$ est proportionnelle au facteur de Boltzmann et \`a l'\'el\'ement diff\'erentiel $\mathrm dx \cdot dv_x$
\begin{align}
\mathrm d\Pi (x, v_x) &= \frac{dN(x, v_x)}{N} \notag \\
&= \lambda \cdot \exp{-\frac{\epsilon(x, v_x)}{k\cdot T}} \mathrm dx dv_x \label{c}
\end{align}
Cette \'equation est appel\'ee distribution de Boltzmann continue dans le cas d'une dimension.
Cette m\^eme probabilit\'e est \'egale au nombre relatif (pourcentage) de particules dont la position $x_i \in [x, x + \mathrm dx]$ et la vitesse $v_i \in [v_x, v_x + \mathrm dv_x]$\,.
Avec $\mathrm dN(x, v_x)$ le nombre de particules telles que:
\[\left \{
\begin{array}{ll}
x \in [x, x+ \mathrm dx] \\
v_x \in [v_x, v_x + \mathrm dv_x] \\
\end{array}
\right.\]
on a ais\'ement le nombre total de particules $N = \int \mathrm dN$\,. En double-int\'egrant l'\'equation (18), on obtient:
\begin{align}
\frac{\int \mathrm dN}{N} = \int_{x_{min}}^{x_{max}} \int_{v_{min}}^{v_{max}} \lambda \cdot
e^{-\frac{\epsilon(x, v_x)}{k\cdot T}} \, \mathrm dx \, \mathrm dv_x \notag \\
\frac{N}{N} = 1 = \lambda \cdot \int_{x_{min}}^{x_{max}} \int_{v_{min}}^{v_{max}}
e^{-\frac{\epsilon(x, v_x)}{k\cdot T}} \, \mathrm dx \, \mathrm dv_x \notag \\
\lambda = \frac{1}{\int_{x_{min}}^{x_{max}} \int_{x_{min}}^{x_{max}}
e^{-\frac{\epsilon(x, v_x)}{k\cdot T}} \, \mathrm dx \, \mathrm dv_x}
\end{align}
\subsection{Application : distribution Maxwellienne des vitesses.}
Avec la distribution de Boltzmann (18), (19), on peut d\'emontrer que le pourcentage de mol\'ecules d'un gaz parfait dont la norme de vitesse $v = \left\|\overrightarrow v\right\|$ est comprise dans l'intervalle $[v, v + \mathrm dv]$ \,.
La loi de densit\'e de probabilit\'e se pr\'esente alors sous la forme suivante:
\begin{equation}
\frac{\mathrm dN(v)}{N} = \left(\frac{m}{2\pi k\cdot T}\right)^{\left(\frac{3}{2}\right)} \cdot 4\pi \cdot v^2 \cdot e^{\frac{m\cdot v^2}{2k\cdot T}} \, \mathrm dv
\end{equation}
\section{Th\'eor\`eme d'\'equiposition de l'\'energie / de Boltzmann.}
Le degr\'e de libert\'e d'une particule est d\'efinie comme le nombre de variables ind\'ependantes qui d\'etermine compl\`etement l'\'etat de la mol\'ecule.
\underline{Exemple:} atome d'un gaz parfait.
L'\'energie cin\'etique de l'atome est d\'efinie par $v_x, v_y, v_z$, ce qui lui garantit 3 degr\'es de libert\'e.
La vitesse quadratique moyenne est alors:
$$u^2 = <v_x^2> + <v_y^2> + <v_z^2>$$
avec <...> la vitesse moyenne, c'est-\`a-dire que $<v_x^2> = <v_y^2> = <v_z^2> = \frac{1}{3} \cdot u^2$.
L'\'energie cin\'etique moyenne d'un atome est alors:
\begin{flalign*}
\epsilon &= \frac{3}{2} \cdot k\cdot T & \\
&= \frac{1}{2} \cdot m\cdot v^2 \\
&= \frac{1}{2} m\, <v_x^2> + \frac{1}{2} m\, <v_y^2> + \frac{1}{2} m\, <v_z^2>
\end{flalign*}
L'\'energie cin\'etique d'un atome d'un gaz parfait est distribu\'ee uniform\'ement entre les trois degr\'es de libert\'e et l'\'energie moyenne attribu\'ee \`a un degr\'e de libert\'e est \'egale \`a: $\frac{1}{2} k \cdot T$.
\underline{Th\'eor\`eme de Boltzmann:}
Pour tout syst\`eme microscopique \`a la temp\'erature T, l'\'energie moyenne attribu\'ee \`a un degr\'e de libert\'e est \'egale \`a $\frac{1}{2} k \cdot T$.
\section{Capacit\'e thermique des gaz parfaits.}
\subsection{D\'efinition.}
La premier principe de thermodynamique pour des gaz \`a volume constant est donn\'e parf l'\'equation suivante:
\begin{flalign*}{ll}
\mathrm dU &= \delta Q_v & \\
&= \nu \cdot c_v \cdot \mathrm dT \\
\Rightarrow c_v &= \frac{1}{\nu} \cdot \frac{\delta Q_v}{\mathrm dT} \\
&= \frac{1}{\nu} \, \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_V
\end{flalign*}
La capacit\'e thermique molaire \`a volume constant d'un gaz est d\'efinie comme la chaleur qu'on fournit \`a une mole de gaz pour augmenter sa temp\'erature d'un Kelvin en gardant le volume constant.
\underline{Rappel:} l'\'energie \`a un un degr\'e de libert\'e est \'egale \`a $\frac{1}{2} \, k \cdot T \,$.
\subsection{Gaz monoatomique (He, Ar, ...).}
\subsubsection{Degr\'es de libert\'e.}
On a $v_x, v_y, v_z$ trois variables de translation, qui d\'efinissent trois degr\'es de libert\'e.
\subsubsection{\'Energie cin\'etique $\epsilon$.}
\begin{flalign*}
\epsilon &= 3 \cdot \frac{1}{2} \, k \, T & \\
&= \frac{3}{2} \, k \, T
\end{flalign*}
\subsubsection{\'Energie interne $U$.}
\begin{flalign*}
U &= N \cdot \epsilon & \\
&= N \cdot \frac{3}{2} \, k \, T \\
&= \nu \, N_A \frac{3}{2} \, k \, T \\
&= \frac{3}{2} \, \nu \, R \, T
\end{flalign*}
\subsubsection{Capacit\'e thermique $c_v$.}
\begin{flalign*}
c_v &= \frac{1}{\nu} \cdot \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V & \\
&= \frac{1}{\nu} \cdot \frac{\partial}{\partial T}\, \left(\frac{3}{2} \, \nu R\, T\right) \\
&=\frac{1}{\nu} \, \frac{3}{2} \, \nu \, R \, \left(\frac{\partial T}{\partial T}\right) \\
&= \frac{3}{2} \, R
\end{flalign*}
\subsection{Gaz diatomique (air, $O_2$\, ,$N_2$ \,).}
Mod\`ele d'une halt\`ere:
\subsubsection{Degr\'es de libert\'e.}
On a $v_x, v_y, v_z$ trois variables de translation, et $\omega_x, \omega_z$ deux variables de rotation, qui d\'efinissent alors cinq degr\'es de libert\'e.
\subsubsection{\'Energie cin\'etique $\epsilon$.}
\begin{flalign*}
\epsilon &= 5 \cdot \frac{1}{2} \, k \, T & \\
&= \frac{5}{2} \, k \, T
\end{flalign*}
\subsubsection{\'Energie interne $U$.}
\begin{flalign*}
U &= N \cdot \epsilon & \\
&= N \cdot \frac{5}{2} \, k \, T \\
&= \frac{5}{2} \, \nu \, R \, T
\end{flalign*}
\subsubsection{Capacit\'e thermique $c_v$.}
\begin{flalign*}
c_v &= \frac{1}{\nu} \cdot \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V & \\
&= \frac{1}{\nu} \cdot \frac{\partial}{\partial T}\, \left(\frac{5}{2} \, \nu R\, T\right) \\
&= \frac{5}{2} \, R
\end{flalign*}
\subsection{Gaz tri- et polyatomique (vapeur de $H_2O$, $CH_4$).}
\subsubsection{Degr\'es de libert\'e.}
On a $v_x, v_y, v_z$ trois variables de translation, et $\omega_x, \omega_y, \omega_z$ trois variables de rotation, qui d\'efinissent alors six degr\'es de libert\'e.
\subsubsection{\'Energie cin\'etique $\epsilon$.}
\begin{flalign*}
\epsilon &= 6 \cdot \frac{1}{2} \, k \, T & \\
&= 3 \, k \, T
\end{flalign*}
\subsubsection{\'Energie interne $U$.}
\begin{flalign*}
U &= N \cdot \epsilon & \\
&= N \cdot 3 \, k \, T \\
&= 3 \, \nu \, R \, T
\end{flalign*}
\subsubsection{Capacit\'e thermique $c_v$.}
\begin{flalign*}
c_v &= \frac{1}{\nu} \cdot \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V & \\
&= \frac{1}{\nu} \cdot \frac{\partial}{\partial T}\, \left(3 \, \nu R\, T\right) \\
&= 3 \, R
\end{flalign*}
\subsection{Conclusion.}
La capacit\'e thermique molaire \`a volume constant d'un gaz parfait est d\'efinie par:
\begin{equation}
c_v = \frac{i}{2} \, R
\end{equation}
avec $i$ le nombre de degr\'es de libert\'e \'egal \`a:
\begin{itemize}
\item 3 si le gaz est monoatomique; \\
\item 5 si le gaz est diatomique; \\
\item 6 si le gaz est tri- ou polyatomique; \\
\end{itemize}
\end{document}